С 2007 года по 2009 год выступал в детско-юношеской футбольной лиге Украины за запорожский "Металлург". После перешёл в академию харьковского "Металлиста". В ДЮФЛ за "Металлист" выступал в 2011 году.

В Премьер-лиге Украины дебютировал 1 апреля 2012 года в домашнем матче против криворожского "Кривбасса" (1:1). Барвинко начал игру в основе на позиции левого защитника. На 75 минуте он отдал голевую передачу на Марлоса.

В октябре 2011 года был вызван в юношескую сборную Украины до 19 лет на два товарищеских матча против Италии. В апреле 2012 года вызван на два товарищеских матча против Бельгии.